Question

20．如圖，在三棱錐P-ABC中，AC⊥AB，PA⊥BC，D為BC的中點，PA=PD=2，AB=AC=4．
（1）求證：PD⊥BC；
（2）在棱PB上是否存在點E，使得二面角E-AD-P的大小為45°，若存在，請求出PE的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）證明BC⊥AD，可得BC⊥平面PAD，即可證明PD⊥BC；
（2）取AD的中點F，連接PF，作OE∥BC，作OM∥PF，則OE⊥平面PAD，確定∠OME是二面角E-AD-P的平面角，利用OM=OE，即可得出結論．

解答 （1）證明：∵AB=AC，D為BC的中點，
∴BC⊥AD，
∵PA⊥BC，PA∩AD=A，
∴BC⊥平面PAD，
∵PD?平面PAD，
∴PD⊥BC；
（2）解：PE=$\frac{1}{3}$PB時，二面角E-AD-P的大小為45°．
取AD的中點F，連接PF，作OE∥BC，作OM∥PF，則OE⊥平面PAD，
由題意，AD=2$\sqrt{2}$，∴PA⊥PD，∴PF⊥AD，∴OM⊥AD，
∴∠OME是二面角E-AD-P的平面角，
設PE=λPC，則OE=2$\sqrt{2}$λ．OM=$\sqrt{2}$（1-λ），
∵二面角E-AD-P的大小為45°，
∴OE=OM，
∴2$\sqrt{2}$λ=$\sqrt{2}$（1-λ），
∴λ=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質，考查二面角的平面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．