Question

【題目】已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線(xiàn)相切.

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

（2）設(shè)是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線(xiàn)和的斜率分別為，且，證明直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析,過(guò)定點(diǎn).

【解析】

（1）由題意可得，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線(xiàn)的距離相等，由拋物線(xiàn)的定義可求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

（2）設(shè)，則.由題意知直線(xiàn)的斜率存在，從而設(shè)方程為，將與聯(lián)立消去，得，由韋達(dá)定理得，代入得，代入直線(xiàn)方程即得.

（1）設(shè)為動(dòng)圓圓心，記為，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，

由題意知：即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線(xiàn)的距離相等，

由拋物線(xiàn)的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線(xiàn)，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線(xiàn)，

所以軌跡方程為；

（2）如圖，設(shè)，由題意得，

由題意知直線(xiàn)的斜率存在，從而設(shè)AB方程為，顯然，

將與聯(lián)立消去，得

由韋達(dá)定理知

由，即

將①式代入上式整理化簡(jiǎn)可得：，

所以AB方程為過(guò)定點(diǎn).