Question

3．定義域為[a，b]的函數(shù)y=f（x）圖象的兩個端點為A、B，M（x，y）是f（x）圖象上任意一點，其中x=λa+（1-λ）b，λ∈[0，1]．已知向量$\overrightarrow{ON}$=$λ\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$，若不等式|$\overrightarrow{MN}$|≤k恒成立，則稱函數(shù)f（x）在[a，b]上“k階線性近似”，若函數(shù)y=x-$\frac{2}{x}$在[1，2]上“k階線性近似”，則實數(shù)k的取值范圍為（　　）

• A． [$\sqrt{2}$-1，+∞）
• B． [$\sqrt{2}$+1，+∞）
• C． [3-2$\sqrt{2}$，+∞）
• D． [3+2$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 先得出M、N橫坐標相等，再將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．

解答 解：由題意，M、N橫坐標相等，|$\overrightarrow{MN}$|≤k恒成立，即|$\overrightarrow{MN}$|_max≤k，
由N在AB線段上，得A（1，-1），B（2，1），
∴直線AB方程為y=2（x-1）-1
∴|$\overrightarrow{MN}$|=|y₁-y₂|=|x-$\frac{2}{x}$-2（x-1）+1|=|x+$\frac{2}{x}$-3|，
∵x∈[1，2]，∴x+$\frac{2}{x}$∈[2$\sqrt{2}$，3]
∴x+$\frac{2}{x}$-3∈[2$\sqrt{2}$-3，0]
∴|$\overrightarrow{MN}$|_max=3-2$\sqrt{2}$
∴k≥3-2$\sqrt{2}$．
故選：C．

點評 本題考查向量知識的運用，考查基本不等式的運用，解答的關(guān)鍵是將已知條件進行轉(zhuǎn)化，同時應(yīng)注意恒成立問題的處理策略．