Question

2．如圖所示的一塊長(zhǎng)方體木料中，已知AB=BC=2，AA₁=1，設(shè)F為線段AD上一點(diǎn)，則該長(zhǎng)方體中經(jīng)過(guò)點(diǎn)A₁，F(xiàn)，C的截面面積的最小值為$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，建立建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，用坐標(biāo)表示向量，
通過(guò)向量計(jì)算截面面積，求出截面面積的最小值．

解答 解：如圖所示，
以DA為x軸，AB為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
設(shè)截面與交B₁C₁點(diǎn)K，
F（-2入，0，0），則$\overrightarrow{FC}$=（-2+2入，2，0），$\overrightarrow{{FA}_{1}}$=（2入，0，1）；．
∴s=|$\overrightarrow{FC}$|•|$\overrightarrow{{FA}_{1}}$|sinθ，
s²=${|\overrightarrow{FC}|}^{2}$•${|\overrightarrow{{FA}_{1}}|}^{2}$-${（\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{{FA}_{1}}）}^{2}$
=[（-2+2λ）²+4]（4λ²+1）-[（-2+2λ）•2λ]²
=20λ²-8λ+8=20${（λ-\frac{1}{5}）}^{2}$+$\frac{36}{5}$，
當(dāng)入=$\frac{1}{5}$時(shí)，s²取最小值$\frac{36}{5}$，
∴S的最小值為$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了空間向量的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．