Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥側(cè)面A₁ABB₁，
（Ⅰ）求證：AB⊥BC；
（Ⅱ）若AA₁=AC=a，直線AC與平面A₁BC所成的角為θ，二面角A₁-BC-A的大小為ψ，求證θ+ψ=。

Answer 1

證明：(Ⅰ)如圖，過(guò)點(diǎn)A在平面A1ABB1內(nèi)作AD⊥A1B于D， 則由平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1，且平面A1BC∩側(cè)面A1ABB1=A1B， 得AD⊥平面A1BC， 又BC平面A1BC，所以AD⊥BC， 因?yàn)槿�棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱， 則AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC， 又AA1∩AD=A， 從而B(niǎo)C⊥側(cè)面A1ABB1， 又AB側(cè)面A1ABB1， 故AB⊥BC。 (Ⅱ)連接CD，則由(Ⅰ)知∠ACD就是直線AC與平面A1BC所成的角， ∠ABA1就是二面角A1-BC-A的夾角，即∠ACD=θ，∠ABA1=ψ， 于是在RtΔADC中，sinθ=， 在RtΔADA1中，sin∠AA1D==， ∴sinθ=sin∠AA1D，由于θ與∠AA1D都是銳角，所以θ=∠AA1D， 又由RtΔA1AB知，∠AA1D+ψ=∠AA1B+ψ=， 故θ+ψ=。