Question

已知直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面是菱形,且∠DAB=60°,AD=AA₁,F為棱BB₁的中點,M為線段AC₁的中點.

(1)求證:直線MF∥平面ABCD;

(2)求證:平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁;

(3)求平面AFC₁與平面ABCD所成二面角(銳角)的大小.

Answer 1

解法一：1)證明:延長C₁F交CB的延長線于點N，連結(jié)AN.

∵F是BB₁的中點,

∴F為C₁N的中點,B為CN的中點,

又M是線段AC₁的中點,故MF∥AN.

∵MF平面ABCD,AN平面ABCD,

∴MF∥平面ABCD.

(2)證明:連結(jié)BD,由直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁可知:A₁A⊥平面ABCD,

又∵BD平面ABCD,∴A₁A⊥BD.

∵四邊形ABCD為菱形,∴AC⊥BD.

又∵AC∩A₁A=A,AC,A₁A平面ACC₁A₁,

∴BD⊥平面ACC₁A₁.

在四邊形DANB中,DA∥BN且DA=BN,

∴四邊形DANB為平行四邊形.故NA∥BD,

∴NA⊥平面ACC₁A₁.

又∵NA平面AFC₁,∴平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁.

(3)由(2)知BD⊥平面ACC₁A₁,又AC₁平面ACC₁A₁,

∴BD⊥AC₁.

∵BD∥NA,∴AC₁⊥NA.又由BD⊥AC可知NA⊥AC,

∴∠C₁AC就是平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的平面角.

在Rt△C₁AC中,tan∠C₁AC=,故∠C₁AC=30°.

∴平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的大小為30°.

解法二:設AC∩BD=O,∵M、O分別為C₁A、CA的中點,

∴MO∥C₁C.又由直四棱柱知C₁C⊥平面ABCD,∴MO⊥平面ABCD.

在菱形ABCD中,BD⊥AC,∴OB、OC、OM兩兩垂直.

故以O為原點,OB、OC、OM所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標系,若設|OB|=1,則B(1,0,0),B₁(1,0,2),A(0,-,0),C(0,3,0),C₁(0,,2).

(1)證明:由F、M分別為B₁B、C₁A的中點可知:F(1,0,1),M(0,0,1),

∴=(1,0,0)=.根據(jù)已知得MF∥OB.

∵MF平面ABCD,OB平面ABCD,

∴MF∥平面ABCD.

(2)證明:=(1,0,0)為平面ACC₁A₁的法向量.

設n=(x,y,z)為平面AFC₁的一個法向量,則n⊥,n⊥.

由=(1,3,1),=(1,0,0),解得令y=1,得z=-,此時,n=(0,1,-),

由n·=(0,1,-3)·(1,0,0)=0,∴平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁.

(3)=(0,0,1)為平面ABCD的法向量,設平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的大小為θ,則|cosθ|=|cos〈,n〉|=?||=||=.

根據(jù)已知得θ=30°,即平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的大小為30°.