Question

4．已知$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，cos²x），$\overrightarrow$=（sin2x，2），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-1．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）求y=f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)向量的坐標的運算法則和二倍角公式以及角的和差公式化簡得到f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出單調(diào)減區(qū)間．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函數(shù)y=f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]單調(diào)遞減，在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$）上單調(diào)遞增，即可求出最值．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，cos²x），$\overrightarrow$=（sin2x，2），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-1=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z，
故函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)k=0時，∵f（$\frac{π}{6}$）=2，f（-$\frac{π}{6}$）=2sin（-$\frac{π}{6}$）=-1，f（$\frac{2π}{3}$）=2sin（π+$\frac{π}{2}$）=-2，
∴y=f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上的最大值為2，最小值為-2．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積運算以及三角函數(shù)的化簡，以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．