Question

9．已知數(shù)列a_n=3ⁿ，記數(shù)列{a_n}的前n項和為T_n，若對任意的 n∈N*，（T_n+$\frac{3}{2}$）k≥3n-6恒成立，則實數(shù) k 的取值范圍$k≥\frac{2}{27}$．

Answer 1

分析 化簡可得T_n=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{2}$，從而可化得k≥$\frac{3n-6}{\frac{{3}^{n+1}}{2}}$=$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$，從而判斷數(shù)列{$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$}的單調(diào)性即可求數(shù)列的最大值，從而解得．

解答 解：∵${a_n}={3^n}$，
∴T_n=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{2}$，
∴T_n+$\frac{3}{2}$=$\frac{{3}^{n+1}}{2}$，
∵$（{T_n}+\frac{3}{2}）k≥3n-6$，
∴k≥$\frac{3n-6}{\frac{{3}^{n+1}}{2}}$=$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$，
∵$\frac{2（n+1）-4}{{3}^{n+1}}$-$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$=$\frac{10-4n}{{3}^{n+1}}$，
∴數(shù)列{$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$}前3項單調(diào)遞增，從第3項起單調(diào)遞減，
∴當n=3時，數(shù)列{$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$}有最大值$\frac{2}{27}$，
故$k≥\frac{2}{27}$．
故答案為：$k≥\frac{2}{27}$．

點評 本題考查了數(shù)列與不等式的綜合應用，同時考查了恒成立問題與最值問題的應用，屬于中檔題．