Question

1．已知點（p，q）是平面直角坐標系xOy上一點，x₁，x₂是方程x²-px+q=0的兩個實根．記φ（p，q）=max{|x₁|，|x₂|}（表示|x₁|，|x₂|中的最大值）．過點A（2，1）作拋物線L：y=$\frac{1}{4}$x²的切線交y軸于點B，對線段AB上的任一點Q（p，q），求φ（p，q）的值．

Answer 1

分析 求導，寫出過點A（2，1）的切線方程，求得點B的坐標，由新定義可得方程的兩根為1和p-1，比較1與p-1，即可得到所求．

解答 解：y=$\frac{1}{4}$x²的導數為y′=$\frac{1}{2}$x，
k_AB=y′|_x=2=$\frac{1}{2}$×2=1，
直線AB的方程為y-1=x-2，即y=x-1，可得B（0，-1），
∴q=p-1，方程x²-px+q=0的判別式△=p²-4q=（p-2）²，兩根為1和p-1，
而0≤p≤2，即有p-1≤1，
∴φ（p，q）=1．

點評 本題考查了利用導數研究拋物線的切線方程，是一道綜合性的試題，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力．其中問題形式是個新定義問題，考查了同學們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．