Question

14．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），離心率為e，過(guò)橢圓焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，傾斜角為θ．
（1）證明：|AB|=$\frac{2a^{2}}{{a}^{2}-{c}^{2}co{s}^{2}θ}$；
（2）證明：若$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{AB}$，則|ecosθ|=|$\frac{λ-1}{λ+1}$|．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程及橢圓第二定義，利用平方關(guān)系計(jì)算即可；
（2）設(shè)橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)為l，分別過(guò)A、B點(diǎn)作AA₁⊥l、BB₁⊥l，垂足分別為A₁、B₁，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AA₁，通過(guò)橢圓的第二定義，計(jì)算可得結(jié)論．

解答 證明：（1）根據(jù)題意，得F（c，0）（c＞0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線(xiàn)l的方程為：y=tanθ（x-c），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=tanθ（x-c）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，
消去y，得（a²tan²θ+b²）x²-2a²ctan²θx+a²c²tan²θ-a²b²=0，
由韋達(dá)定理，可得x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}cta{n}^{2}θ}{{a}^{2}ta{n}^{2}θ+^{2}}$，
根據(jù)橢圓的第二定義，可得：
|AB|=|AF|+|FB|
=$\frac{c}{a}[（\frac{{a}^{2}}{c}-{x}_{1}）+（\frac{{a}^{2}}{c}-{x}_{2}）]$
=$\frac{c}{a}[\frac{2{a}^{2}}{c}-（{x}_{1}+{x}_{2}）]$
=$\frac{2a^{2}}{\frac{^{2}+{a}^{2}ta{n}^{2}θ}{1+ta{n}^{2}θ}}$
=$\frac{2a^{2}}{\frac{{a}^{2}ta{n}^{2}θ+{a}^{2}-{c}^{2}（si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ）}{1+ta{n}^{2}θ}}$
=$\frac{2a^{2}}{\frac{（1+ta{n}^{2}θ）（{a}^{2}-{c}^{2}co{s}^{2}θ）}{1+ta{n}^{2}θ}}$
=$\frac{2a^{2}}{{a}^{2}-{c}^{2}co{s}^{2}θ}$；
（2）設(shè)橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)為l，
∵$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{AB}$，∴可設(shè)|$\overrightarrow{AF}$|=λt，|$\overrightarrow{FB}$|=t（t＞0）．
由圖可知θ為銳角，分別過(guò)A、B點(diǎn)作AA₁⊥l、BB₁⊥l，
垂足分別為A₁、B₁，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AA₁，
由橢圓的第二定義可得
|AD|=|AA₁|-|BB₁|
=$\frac{|AF|}{e}$-$\frac{|BF|}{e}$
=$\frac{（λ-1）t}{e}$，
在Rt△ADB中，cosθ=$\frac{|AD|}{|AB|}$=$\frac{（λ-1）t}{e（λ+1）t}$=$\frac{λ-1}{e（λ+1）}$，
∴|ecosθ|=|$\frac{λ-1}{λ+1}$|．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的第二定義，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，三角函數(shù)平方關(guān)系，韋達(dá)定理，注意解題方法的積累，屬于難題．