Question

如圖所示，A，B是橢圓的兩個頂點，C是AB的中點，F(xiàn)為橢圓的右焦點，OC的延長線交橢圓于點M，且|OF|=

2

，若MF⊥OA，則橢圓的方程為

x2

4

+

y2

2

=1

．

Answer 1

分析：設出橢圓方程，利用AB為橢圓的兩個頂點，C是AB的中點，OC交橢圓于點M，MF⊥OA，求出M、C的坐標，利用OM的斜率=OC的斜率，即可求得結論．

解答：解：∵F為橢圓的右焦點，|OF|=

2

，∴c=

2

．
設橢圓方程為

x2

b2+2

+

y2

b2

=1（b＞0），
∵AB為橢圓的兩個頂點，C是AB的中點，OC交橢圓于點M，MF⊥OA，
∴A是長軸右端點，

2

b2+2

+

y2

b2

=1
∴yM=

b2

b2+2

，∴M（

2

，

b2

b2+2

）
∵A（

b2+2

，0），B（0，b）
∴C（

b2+2

2

，

b

2

）
∵OM的斜率=OC的斜率，
∴

b2 b2+2

2

=

b 2

b2+2 2

∴b=

2

，
∴所求橢圓方程是

x2

4

+

y2

2

=1．
故答案為

x2

4

+

y2

2

=1．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的幾何性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．