Question

16．在區(qū)間[0，1]上給定曲線y=x²，如圖所示，0＜t＜1，S₁，S₂是t的函數(shù)，則函數(shù)g（t）=S₁+S₂的單調(diào)遞增區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 首先利用定積分分別求出S₁，S₂，得到函數(shù)g（t），然后分析其單調(diào)性．

解答 解：由題意S₁=${∫}_{0}^{t}{（t}^{2}-{x}^{2}）dx$=（t²x-$\frac{1}{3}{x}^{3}$）|${\;}_{0}^{t}$=$\frac{2}{3}{t}^{3}$，
S₂=${∫}_{t}^{1}（{x}^{2}-{t}^{2}）dx$=（$\frac{1}{3}{x}^{3}-{t}^{2}x$）|${\;}_{t}^{1}$=$\frac{1}{3}-{t}^{2}+\frac{2}{3}{t}^{3}$，
所以g（t）=S₁+S₂=$\frac{4}{3}{t}^{3}-{t}^{2}+\frac{1}{3}$，g'（t）=4t²-2t=2t（2t-1），令g'（t）＞0解得t＞$\frac{1}{2}$或t＜0，又0＜t＜1，
所以函數(shù)g（t）=S₁+S₂的單調(diào)遞增區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，1）；
故答案為：（$\frac{1}{2}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用定積分求曲邊梯形的面積以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；屬于經(jīng)�？疾榈念}型．