Question

如圖，直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，側(cè)棱AA₁=2，底面ABCD是菱形，AB=2,∠ABC=60°，P為側(cè)棱BB₁上的動點.

(1)求證：D₁P⊥AC；

(2)當P恰為棱B₁B的中點時，求四面體CPD₁A的體積.

Answer 1

解:(1)連結(jié)BD，則AC⊥BD，

∵D₁D⊥平面ABCD，∴AC⊥D₁D.∴AC⊥平面BB₁D₁D.∵D₁P平面BB₁D₁D，

∴D₁P⊥AC.

(2)設BD∩AC=O,連D₁O，PO，∵D₁A=D₁C，∴D₁O⊥AC，同理PO⊥AC，

又∵D₁O∩PO=O，∴AC⊥平面POD₁.

∵AB=2，∠ABC=60°，∴AO=CO=1，BO=DO=.

∴D₁O==,PO==2.在Rt△PB₁D₁中,D₁P==,

在△D₁OP中,cos∠D₁OP==.

∴sin∠D₁OP==,

∴=××2×=,

∴=+=××2=.