Question

18．已知關(guān)于x的不等式mx²-x+m＜0的解是一切實(shí)數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 當(dāng)m=0時(shí)，不等式可化為-x＜0，顯然x不是一切實(shí)數(shù)，當(dāng)m≠0時(shí)，不等式mx²-x+m＜0的解是一切實(shí)數(shù)，則對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)y=mx²-x+m的圖象應(yīng)開(kāi)口朝下，且與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，由此構(gòu)造不等式組，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：當(dāng)m=0時(shí)，不等式可化為-x＜0，顯然x不是一切實(shí)數(shù)，
當(dāng)m≠0時(shí)，不等式mx²-x+m＜0的解是一切實(shí)數(shù)
則對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)y=mx²-x+m的圖象應(yīng)開(kāi)口朝下，且與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，
故$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{1-4{m}^{2}＜0}\end{array}\right.$，解得m＜-$\frac{1}{2}$，
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＜-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次不等式的應(yīng)用，其中解答時(shí)易忽略m=0時(shí)，不等式可化為4＞0，滿足條件而錯(cuò)解為0＜m＜4．