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已知數(shù)列{an}滿足a1=，an+1=an+.

求證：（1）2＜an＜3；

（2）an+1－2＜（an－2）；

（3）an－2＜（）2n－1.

證明：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明.

∵2＜a1=＜3，

∴n=1時，不等式成立.

假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，即有2＜ak＜3.

當(dāng)n=k+1時，

ak+1=ak+＞2=2（ak＞2）.

又ak＜，＜1，

∴ak+1=ak+＜1+＜3.

∴2＜ak+1＜3.

當(dāng)n=k+1時，不等式成立.

由上可知不等式2＜ak＜3對任意正整數(shù)都成立.

（2）an+1－2=an+－2=（an－2）2.

∵2＜an＜3，0＜an－2＜1，

∴an+1－2＜＜= （an－2）.

（3）由（2）知an－2＜（an－1－2）＜

（）2（an－2－2）＜…＜（）n－1（a1－2）

=（）n－1=（）2n－1，∴問題得證.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn；
（3）數(shù)列{an-bn}是否存在最大項，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項公式
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1
．

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