Question

【題目】已知函數(shù)， ，其中是自然常數(shù).

(1)判斷函數(shù)在內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；

(2) ， ，使得不等式成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)， ，得到函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)零點(diǎn)存在定理得到函數(shù)存在一個(gè)零點(diǎn)；（2）不等式等價(jià)于，即，對兩邊的函數(shù)分別求導(dǎo)研究單調(diào)性，求得最值得到取得最大值， 取得最小值，故只需要,解出即可.

解析：

(1)函數(shù)在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1，理由如下：

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>， ，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理得函數(shù)在上存在1個(gè)零點(diǎn).

(2)因?yàn)椴坏仁?/span>等價(jià)于，

所以， ，使得不等式成立，等價(jià)于

，即，

當(dāng)時(shí)， ，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)， 取得最小值，又，

當(dāng)時(shí)， ， ， ，所以，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

因此，當(dāng)時(shí)， 取得最大值，所以，所以，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.