Question

已知數(shù)列{a_n}滿足，且對(duì)任意，都有．

(Ⅰ)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

(Ⅱ)試問(wèn)數(shù)列{a_n}中是否仍是{a_n}中的項(xiàng)？如果是，請(qǐng)指出是數(shù)列的第幾項(xiàng)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(Ⅲ)令證明：對(duì)任意．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)，即　　1分

　　所以　　3分

　　所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列　　4分

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以　　5分

　　　　6分

　　　　7分

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/3433/0022/4bec0d6c08bd8c16a21274e15fd29e1f/C/Image181.gif" width=230 HEIGHT=44>　　8分

　　當(dāng)時(shí)，一定是正整數(shù)，所以是正整數(shù)．

　　(也可以從k的奇偶性來(lái)分析)

　　所以是數(shù)列中的項(xiàng)，是第項(xiàng)　　9分

　　(Ⅲ)證明：由(2)知：，　　10分

　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意．

　　(1)當(dāng)時(shí)，顯然，不等式成立　　11分

　　(2)假設(shè)當(dāng)

　　當(dāng)

　　

　　即有：也成立．

　　綜合(i)(ii)知：對(duì)任意　　14分