Question

數(shù)列{a_n}（n∈N^*）中，a₁=a，a_n+1是函數(shù)的極小值點(diǎn)．若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，則a的取值范圍是   

Answer 1

【答案】分析：先對(duì)函數(shù)f_n（x）進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系判斷函數(shù)f_n（x）的單調(diào)性進(jìn)而得到極值點(diǎn)，若對(duì)任意的n，都有3a_n＞n²，則a_n+1=3a_n．可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，而要使3a_n＞n²，即a•3ⁿ＞n²對(duì)一切n∈N^*都成立，只需對(duì)一切n∈N^*都成立．然后記，則可分別求得b₁，b₂，b₃，再令后求導(dǎo)判斷在[2，+∝）上的單調(diào)性，求出數(shù)列{b_n}的最大項(xiàng)，然后根據(jù)a的不同范圍判斷數(shù)列{a_n}是否是等比數(shù)列，進(jìn)而得到答案．
解答：解：易知f′_n（x）=x²-（3a_n+n²）x+3n²a_n=（x-3a_n）（x-n²）．令f′_n（x）=0，得x₁=3a_n，x₂=n²．
①若3a_n＜n²，則當(dāng)x＜3a_n時(shí)，f′_n（x）＞0，f_n（x）單調(diào)遞增；當(dāng)3a_n＜x＜n²時(shí)，f′_n（x）＜0，f_n（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞n²時(shí)，f′_n（x）＞0，f_n（x）單調(diào)遞增．故f_n（x）在x=n²取得極小值．
②若3a_n＞n²，仿①可得，f_n（x）在x=3a_n取得極小值．
③若3a_n=n²，則f′_n（x）≥0，f_n（x）無(wú)極值．
若對(duì)任意的n，都有3a_n＞n²，則a_n+1=3a_n．即數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a，公比為3的等比數(shù)列，且a_n=a•3^n-3．
而要使3a_n＞n²，即a•3ⁿ＞n²對(duì)一切n∈N^*都成立，只需對(duì)一切n∈N^*都成立．
記，則
令，則．
因此，當(dāng)x≥2時(shí)，y'＜0，從而函數(shù)在[2，+∝）上單調(diào)遞減，
故當(dāng)n≥2，數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減，即數(shù)列{b_n}中最大項(xiàng)為b₂=，于是當(dāng)a＞是，必有a＞，
這說(shuō)明當(dāng)a∈（，+∞）時(shí)，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
當(dāng)a=，可得a₁=，a₂=，而3a₂=4=2²，又③知，f₂（x）無(wú)極值，不合題意．
當(dāng)時(shí)，可得a₁=a，a₂=3a，a₃=4，a₄=12…，數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列．
當(dāng)a=時(shí)，3a=1=1²，由（3）知，f₁（x）無(wú)極值，不合題意．
當(dāng)時(shí)，可得a₁=a，a₂=1，a₃=4，a₄=12，，數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列．
綜上所述，存在a，使數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，且a的取值范圍為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系、函數(shù)極值．考查學(xué)生的綜合運(yùn)算能力．