Question

（2013•浙江模擬）在△ABC中，B（10，0），直線BC與圓Γ：x²+（y-5）²=25相切，切點為線段BC的中點．若△ABC的重心恰好為圓Γ的圓心，則點A的坐標為

（0，15）或（-8，-1）

．

Answer 1

分析：設BC的中點為D，設點A和C的坐標，根據(jù)圓心Γ（0，5）到直線AB的距離等于半徑5求出AB的斜率k的值．再由斜率公式
以及ΓD⊥BC，求出C的坐標，再利用三角形的重心公式求得A的坐標．

解答：解：設BC的中點為D，設點A（x₁，y₁ ）、C（x₂，y₂），則由題意可得ΓD⊥BC，且D（

x2+10

2

，

y2

2

）．
故有圓心Γ（0，5）到直線AB的距離ΓD=r=5．
設BC的方程為y-0=k（x-10），即 kx-y-10k=0．則有

|0-5-10k|

k2+1

=5，解得 k=0或 k=-

4

3

．
當k=0時，有

y2-0 x2-10 =0 KΓD= y2 2 -5 x2+10 2 不存在

，當k=-

4

3

時，有

y2-0 x2-10 =- 4 3 KΓD= y2 2 -5 x2+10 2 = 3 4

．
解得

x2=-10 y2=0

，或

x2=-2 y2=16

．
再由三角形的重心公式可得

0=  x1+x 2+10 3 5= y1+y 2+0 3

，由此求得

x1=0 y1=15

 或

x1=-8 y1=-1

，
故點A的坐標為 （0，15）或（-8，-1），
故答案為 （0，15）或（-8，-1）．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系的應用，點到直線的距離公式、斜率公式、三角形的重心公式，屬于中檔題．