Question

11．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其右焦點(diǎn)為F（1，0）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若P、Q、M、N四點(diǎn)都在橢圓E上，已知$\overrightarrow{PF}$與$\overrightarrow{FQ}$共線，$\overrightarrow{MF}$與$\overrightarrow{FN}$共線，且$\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{MF}$=0，求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）由c=1，由橢圓的離心率公式即可求得a和b的值，即可求得橢圓的方程；
（2）設(shè)直線PQ的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，求得丨PQ丨，由PQ⊥MN，將-$\frac{1}{k}$代入丨PQ丨，求得丨MN丨，則S=$\frac{1}{2}$丨PQ丨丨MN丨，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得四邊形PMQN的面積的最小值和最大值．

解答 解：（1）由橢圓的離心率公式可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由c=1，則a=$\sqrt{2}$，
b²=a²-c²=1，
故橢圓方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；…（4分）
（2）如圖，由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點(diǎn)F（1，0），
且PQ⊥MN，設(shè)直線PQ的斜率為k（k≠0），
則PQ的方程為y=k（x-1），P（x₁，y₁），Q（x₁，y₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
x₁+x₁=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
則丨PQ丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，于是$|{PQ}|=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{8（1+{k^2}）}}}{{1+2{k^2}}}$，…（7分）
同理：$|{MN}|=\sqrt{1+{{（-\frac{1}{k}）}^2}}\frac{{\sqrt{8[1+{{（-\frac{1}{k}）}^2}]}}}{{1+2{{（-\frac{1}{k}）}^2}}}=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{8（1+{k^2}）}}}{{{k^2}+2}}$．
則S=$\frac{1}{2}$丨PQ丨丨MN丨=$\frac{4（2+{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）}{5+2{k}^{2}+\frac{2}{{k}^{2}}}$，令t=k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$，T≥2，
S=$\frac{1}{2}$丨PQ丨丨MN丨=$\frac{4（2+t）}{5+2t}$=2（1-$\frac{1}{5+2t}$），當(dāng)k=±1時(shí)，t=2，S=$\frac{16}{9}$，且S是以t為自變量的增函數(shù)，
當(dāng)k=±1時(shí)，四邊形PMQN的面積取最小值$\frac{16}{9}$．
當(dāng)直線PQ的斜率為0或不存在時(shí)，四邊形PMQN的面積為2．
綜上：四邊形PMQN的面積的最小值和最大值分別為$\frac{16}{9}$和2．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系．考查韋達(dá)定理，弦長公式，考查橢圓與函數(shù)單調(diào)性及最值得綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．