Question

已知函數(shù)f（x）=lnx--bx（a≠0）．
（I） 若b=2，且y=f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
（II）若函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標(biāo)為x₀，證明：f′（x₀）＜0．

Answer 1

解：（I）當(dāng)b=2時，f（x）=lnx--2x（x＞0），則
因為函數(shù)y=f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以f′（x）＜0有解．
又因為x＞0時，則ax²+2x-1＞0有x＞0的解．
①當(dāng)a＞0時，y=ax²+2x-1為開口向上的拋物線，ax²+2x-1＞0總有x＞0的解；
②當(dāng)a＜0時，y=ax²+2x-1為開口向下的拋物線，若ax²+2x-1＞0總有x＞0的解；
則需△=4+4a＞0，且方程ax²+2x-1=0至少有一正根．此時，-1＜a＜0．
綜上所述，a的取值范圍為（-1，0）∪（0，+∞）
（II） 設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別是（x₁，0），（x₂，0），0＜x₁＜x₂，則點AB的中點橫坐標(biāo)為
∵f（x₂）-f（x₁）=lnx₂-lnx₁-=0
∴l(xiāng)nx₂-lnx₁=
f′（x₀）==×[]
設(shè)，則y==，t＞1
令r（t）=，則
因為t＞1時，r′（t）＜0，所以r（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞減．
故r（t）＜r（1）=0
而＞0．故f′（x₀）＜0．
分析：（I）當(dāng)b=2時，求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)y=f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以f′（x）＜0有解，又因為x＞0時，則ax²+2x-1＞0有x＞0的解，分類討論，即可求得a的取值范圍；
（II） 設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別是（x₁，0），（x₂，0），0＜x₁＜x₂，則點AB的中點橫坐標(biāo)為，利用f（x₂）-f（x₁）=0，可得lnx₂-lnx₁=，從而f′（x₀）==×[]，構(gòu)建新函數(shù)，即可證得f′（x₀）＜0．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有一定的難度．