Question

直線與橢圓相交于A、B兩點，橢圓上的點P使△PAB的面積等于12，這樣的點P共有（ ）個．
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：求出P到AB的距離 h=，作與AB平行的直線l，使l與橢圓相切，設直線l的方程為 ，
把l的方程代入橢圓方程化簡，由由判別式等于0 解得 k值，從而得到直線l的方程，求出直線l與AB間的距離，
將此距離和h作比較，從而得出結論．
解答：解：由已知可得A（4，0），B（0，3），AB=5，由12=AB•h，可得P到AB的距離 h=．
作與AB平行的直線l，使l與橢圓相切，設直線l的方程為 ，
把l的方程代入橢圓方程化簡可得 x²-4kx+8k²-8=0，由判別式等于0 解得 k=，或 k=-，
故直線l的方程為 ，或 ．
因為 與AB的距離為  =＜，
與AB的距離為  =＞．故這樣的點P共有 2個，
故選 B．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，兩平行線間的距離公式，得到與AB平行的且與橢圓相切的切線l 的方程，是解題
的關鍵．