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如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱AA1=2，
（1）求證：C1D∥平面ABB1A1；
（2）求二面角D-A1C1-A的余弦值。
解：（1）∵ABCD是正方形，
∴AD⊥CD，
又A1D⊥平面ABCD，如圖，以D為原點建立空間直角體系
D-xyz，
在△ADA1中，由已知得A1D=，
∴D(0，0，0)，A1(0，0，)，A(1，0，0)，
C1(-1，1，)，
B1(0，1，)，D1(-1，0，)，B(1，1，0)，
∴=(1，-1，)，
設平面ABB1A1的法向量為m=(x1，y1，z1)，
，
∴C1D平面ABB1A1，
∴C1D∥平面ABB1A1；
（2）設平面A1C1A的法向量為=(x2，y2，z2)，
由，
又平面A1C1D的法向量為=(1，1，0)，
設二面角D-A1C1-A的大小為α，
∴cosα==，
∴二面角D-A1C1-A的余弦值為。
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱AA1=2．
（Ⅰ）求證：C1D∥平面ABB1A1；
（Ⅱ）求直線BD1與平面A1C1D所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角D-A1C1-A的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為正方形，側棱與底面邊長均為2a，且∠A1AD=∠A1AB=60°，則側棱AA1和截面B1D1DB的距離是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱A1A=2，
（Ⅰ）證明：AC⊥A1B；
（Ⅱ）若棱AA1上存在一點P，使得
AP
=λ
PA1
，當二面角A-B1C1-P的大小為300時，求實數(shù)λ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•泉州模擬）如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD．
（Ⅰ）從下列①②③三個條件中選擇一個做為AC⊥BD1的充分條件，并給予證明；
①AB⊥BC，②AC⊥BD；③ABCD是平行四邊形．
（Ⅱ）設四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都為1，且∠BAD為銳角，求平面BDD1與平面BC1D1所成銳二面角θ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•天津）如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，
AA1=AB=2，E為棱AA1的中點．
（Ⅰ）證明B1C1⊥CE；
（Ⅱ）求二面角B1-CE-C1的正弦值．
（Ⅲ）設點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為
2
6
，求線段AM的長．

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