Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n+n=2a_n（n∈N^*）．
（1）證明：數列{a_n+1}為等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=n•（a_n+1），求數列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比關系的確定

專題：計算題,等差數列與等比數列

分析：（1）易求a₁=1，由題意得2a_n=S_n+n，2a_n+1=S_n+1+（n+1），兩式相減后變形可得a_n+1+1=2（a_n+1），根據等比數列的定義可得結論，利用等比數列通項公式可求a_n+1，進而可得a_n；
（2）由（1）可求b_n，利用錯位相減法可求得T_n．

解答： （1）證明：n=1時，2a₁=S₁+1，
∴a₁=1．
由題意得2a_n=S_n+n，2a_n+1=S_n+1+（n+1），
兩式相減得2a_n+1-2a_n=a_n+1+1，即a_n+1=2a_n+1．
于是a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁+1=2．
∴數列{a_n+1}為首項為2，公比為2的等比數列，
∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1；
（2）解：由（1）知，b_n=n•2ⁿ，
∴T_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ①，
2T_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹②，
①-②，得-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評：本題考查由數列遞推式求數列通項、等比數列的定義、數列求和，錯位相減法對數列求和是高考考查的重點內容，要熟練掌握．