Question

16．如圖所示，在一住宅小區(qū)里有一塊半徑為10m的半圓形空地（O為圓心），現(xiàn)準(zhǔn)備在這塊空地上種植一塊矩形草坪，矩形的一邊落在半圓的直徑上，問角θ為多少度時(shí)，矩形草坪面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

分析 如圖用圓的半徑R與圖中所示的角（可設(shè)出）表示出來，把此矩形的面積表示出來，再用三角函數(shù)的相關(guān)的公式化簡，最后用三角函數(shù)的有界性判斷最大值在什么情況下取到，求出矩形的最大面積以及矩形的長與寬的大小．

解答 解：由題意矩形的另兩個(gè)頂點(diǎn)在半圓軸上時(shí)，矩形面積才能取得最大值．
設(shè)矩形在半圓板直徑上的一邊長為2x，θ角如圖所示，
則x=10cosθ，另一邊的長為10sinθ，矩形面積S為
S=200sinθcosθ．
=100sin2θ
當(dāng)2θ=90°即α=45°時(shí)，也即長為20cos45°=10$\sqrt{2}$，
寬為10sin45°=5$\sqrt{2}$時(shí)，矩形面積最大
最大面積是100．
角θ為45度時(shí)，矩形草坪面積最大，最大面積為100m²．

點(diǎn)評 本題考查用三角函數(shù)解決實(shí)際問題的最值，這是三角函數(shù)的一個(gè)重要的運(yùn)用，請仔細(xì)體會(huì)本題中函數(shù)關(guān)系的建立過程．