Question

求證：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)=0都經(jīng)過一個定點(diǎn)，并求出這個定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：略
解析：

證法1：對于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)=0， 令m=0，得x－3y－11=0；令m=1，得x＋4y＋10=0． 解方程組得兩直線的交點(diǎn)為(2，－3)． 將點(diǎn)(2，－3)代入已知直線方程左邊，得 (2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)=4m－2－3m－9－m＋11=0． 這表時不論m為什么實(shí)數(shù)，所給直線均經(jīng)過定點(diǎn)(2，－3)． 證法2：將已知方程以m為未知數(shù)，整理為和． 由于m取值的任意性，有解得 所以所給的直線不論m取什么實(shí)數(shù)，都經(jīng)過一個定點(diǎn)(2，－3)． 題目所給的直線方程的系數(shù)含有字母m，給m任何一個實(shí)數(shù)，就可以得到一條確定的直線，因此所給的方程是以m為參數(shù)的直線系方程．要證明這個直線系中的直線都過一定點(diǎn)，就是證明它是一個共點(diǎn)的直線系，我們可以給出m的兩個特殊值，得到直線系中的兩條直線，它們的交點(diǎn)即是直線系中任何直線都過的定點(diǎn)． 另一個思路是：由于方程對任意的m都成立，那么就以m為未知數(shù)，整理為關(guān)于m的一元一次方程，再由一元一次方程有無數(shù)個解的條件求得定點(diǎn)的坐標(biāo)．