Question

設(shè)x，y滿足約束條件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x，y≥0

，若目標函數(shù)z=ax+by（a，b＞0）的最大值是12，則a²+b²的最小值是（　�。�

• A、

  6

  13

• B、

  36

  5

• C、

  6

  5

• D、

  36

  13

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值是12，確定a，b之間的關(guān)系，利用兩點間的距離公式進行求解即可．．

解答： 解：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=ax+by（a＞0，b＞0），
得y-

a

b

x+

z

b

，
平移直線y-

a

b

x+

z

b

，由圖象可知當直線y-

a

b

x+

z

b

經(jīng)過點A時，直線y-

a

b

x+

z

b

的截距最大，此時確定最大值12，
由

3x-y-6=0 x-y+2=0

，
解得

x=4 y=6

，即A（4，6），
代入目標函數(shù)得4a+6b=12，
即2a+3b=6，對應(yīng)曲線為直線，
設(shè)m=a²+b²，
則m的幾何意義是直線2a+3b=6上的點到原點的距離的平方，
原點到直線2a+3b=6的距離d=

|6|

22+32

=

6

13

，
∴a²+b²的最小值m=d²=

36

13

，
故選：D．

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標函數(shù)的幾何意義，確定a，b的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．