Question

已知橢圓 的離心率為，長軸長為．

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）設(shè)為橢圓C的右焦點，T為直線上縱坐標不為的任意一點，過作的垂線交橢圓C于點P，Q.

（ⅰ）若OT平分線段PQ(其中O為坐標原點)，求的值；

（ⅱ）在（ⅰ）的條件下，當最小時，求點T的坐標．

Answer 1

．解：（1）由已知解得

所以橢圓C的標準方程是. ………………………………（3分）

（2）（ⅰ）由（1）可得，F(xiàn)點的坐標是(2，0).

設(shè)直線PQ的方程為x＝my+2，將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得

消去x，得(m²＋3)y²+4my－2＝0，其判別式Δ＝16m²＋8(m²＋3)>0.

設(shè)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則y₁＋y₂＝，y₁y₂＝.于是x₁＋x₂＝m(y₁＋y₂)+4＝.

設(shè)M為PQ的中點，則M點的坐標為.      …………6分

因為，所以直線FT的斜率為，其方程為.

當時，，所以點的坐標為，

此時直線OT的斜率為，其方程為.

將M點的坐標為代入，得.

解得.                     ………………………………………………8分

（ⅱ）由（ⅰ）知T為直線上任意一點可得，點T點的坐標為.

于是，      .          …………10分

所以

.     ……………12分

當且僅當m²＋1＝，即m＝±1時，等號成立，此時取得最小值．

故當最小時，T點的坐標是(3，1)或(3，－1)．    ……………12分