Question

【題目】已知函數(shù)，且上的最大值為．

求函數(shù)的解析式；

判斷在內(nèi)的零點的個數(shù)，并加以證明．

Answer 1

【答案】(1) (2) 函數(shù)在內(nèi)恰有兩個零點

【解析】

(1)函數(shù)恒成立轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即，令，利用函數(shù)的導數(shù)，求出即可．

(2)，求出導函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的零點，通過當時，當時，令，利用函數(shù)的導數(shù)求解函數(shù)的極值，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的零點個數(shù)即可。

(1)因為，所以，，所以

由題意，在上恒成立，且能取到等號

即在上恒成立，且能取到等號，即

令，則

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以，解得，

所以。

(2)因為

當時，因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增

因為，所以函數(shù)在上有唯一零點

當時，令

因為，所以函數(shù)即當時單調(diào)遞減

又因為，所以存在唯一使

所以當時，；當時，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

注意到，，所以

所以函數(shù)在上沒有零點，在上有唯一零點，

由得函數(shù)在內(nèi)恰有兩個零點。