Question

已知f(x)＝x²＋c，且f[f(x)]＝f(x²＋1)．

(1)設g(x)＝f[f(x)]，求g(x)的解析式；

(2)設φ(x)＝g(x)－λf(x)，試問：是否存在實數(shù)λ，使φ(x)在(－∞，－1)內為減函數(shù)，且在(－1，0)內是增函數(shù)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由題意得f[f(x)]＝f(x2＋c)＝(x2＋c)2＋c， 　　f(x2＋1)＝(x2＋1)2＋c，∵f[f(x)]＝f(x2＋1)， 　　∴(x2＋c)2＋c＝(x2＋1)2＋c．∴x2＋c＝x2＋1． 　　∴c＝1． 　　∴f(x)＝x2＋1，g(x)＝f[f(x)]＝f(x2＋1)＝(x2＋1)2＋1． 　　(2)φ(x)＝g(x)－λf(x)＝x4＋(2－λ)x2＋(2－λ)． 　　若滿足條件的λ存在，則(x)＝4x3＋2(2－λ)x． 　　∵函數(shù)φ(x)在(－∞，－1)上是減函數(shù)，∴當x＜－1時，(x)＜0，即4x3＋2(2－λ)x＜0對于x∈(－∞，－1)恒成立． 　　∴2(2－λ)＞－4x2．∵x＜－1，∴－4x2＜－4． 　　∴2(2－λ)≥－4． 　　解得λ≤4．又函數(shù)φ(x)在(－1，0)上是增函數(shù)， 　　∴當－1＜x＜0時，(x)＞0，即4x2＋2(2－λ)x＞0對x∈(－1，0)恒成立． 　　∴2(2－λ)＜－4x2．∵－1＜x＜0．∴－4＜4x2＜0． 　　2(2－λ)≤－4，解得λ≥4，故當λ＝4時，φ(x)在(－∞，－1)上是減函數(shù)，在(－1，0)上是增函數(shù)，即滿足條件的λ存在． 　　思路分析：根據(jù)題設條件可以求出φ(x)的表達式，對于探索性問題，一般先對結論作肯定存在的假設，然后由此肯定的假設出發(fā)，結合已知條件進行推理論證，由推證結果是否出現(xiàn)矛盾來作出判斷．解題的過程實質是一種轉化的過程，由于函數(shù)φ(x)是可導函數(shù)，因此選擇好解題的突破口，要充分利用函數(shù)的單調性構造等價的不等式，確定適合條件的參數(shù)λ的取值范圍，使問題獲解．

提示：

函數(shù)思維實際上是辯證思維的一種特殊表現(xiàn)形式，它包含著運動、變化，也就存在著量與量之間的相互依賴、相互制約的關系，因此挖掘題目中隱含條件則是打開解題思路的重要鑰匙．具體到解題的過程，學生最大思維障礙是迷失方向，不知從何處入手去溝通已知與未知的關系，使分散的條件相對集中，促成問題的解決，不善于應用f(x)＜a恒成立[f(x)max]＜a和f(x)＞a恒成立[f(x)min]＞a．