Question

已知橢圓的準(zhǔn)線平行于x軸，長軸長是短軸長的3倍，且過點（2，3）．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并寫出準(zhǔn)線方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程是 =1，
∵長軸長是短軸長的3倍，
∴a=3b，
∴c==2b，
∴橢圓的離心率為：
（4分）
（Ⅱ）由題設(shè)，中心在坐標(biāo)原點的橢圓過點（2，3），且a=3b，
∴=1，又a²=c²+b²
三式聯(lián)立可以解得a=3，b=，c=2，
故該橢圓的方程為：（6分），
準(zhǔn)線：（2分）
分析：（I）設(shè)橢圓的方程是 =1，根據(jù)長軸長是短軸長的3倍，求出a與b，c與b的關(guān)系，求出橢圓的離心率；
（II）設(shè)橢圓的方程是 =1，由題設(shè)，中心在坐標(biāo)原點的橢圓過點（2，3），且它的長軸長是短軸長的3倍，故可以得兩個關(guān)于a，b，c的方程，解出參數(shù)就可得到橢圓的方程及準(zhǔn)線方程．
點評：本題考查橢圓的幾何特征，利用幾何特征建立三個參數(shù)a，b，c的方程，求出參數(shù)，進(jìn)而求出橢圓的方程．