Question

15．已知函數(shù)f（x）=e^x-x²-ax．
（I）若函數(shù)f（x）的圖象在x=0處的切線方程為y=2x+b，求a，b的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，求實數(shù)a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f′（x）由f′（0）=1-a=2，求得a=-1．得到f（x）=e^x-x²+x，再由f（0）=1求得b值；
（Ⅱ）由題意f′（x）≥0，即e^x-2x-a≥0恒成立，∴a≤e^x-2x恒成立．令h（x）=e^x-2x，利用導數(shù)求其最小值得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-x²-ax，∴f′（x）=e^x-2x-a，則f′（0）=1-a．
由題意知1-a=2，即a=-1．
∴f（x）=e^x-x²+x，則f（0）=1．
于是1=2×0+b，b=1．
（Ⅱ）由題意f′（x）≥0，即e^x-2x-a≥0恒成立，∴a≤e^x-2x恒成立．
設h（x）=e^x-2x，則h′（x）=e^x-2．
∴當x∈（-∞，ln2）時，h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)；
當x∈（ln2，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)．
∴h（x）_min=h（ln2）=2-2ln2．
∴a≤2-2ln2，即a的最大值為2-2ln2．

點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，屬中檔題．