Question

已知圓O：x²+y²=2，直線l：y=kx-2。
（1）若直線l與圓O相切，求k的值；
（2）若直線l與圓O交于不同的兩點A，B，當∠AOB為銳角時，求k的取值范圍；
（3）若，P是直線l上的動點，過P作圓O的兩條切線PC，PD，切點為C，D，探究：直線CD是否過定點。

Answer 1

解：（1）由圓心O到直線l的距離
可得k=±1。
（2）設(shè)A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
將直線l：y=kx-2代入x²+y²=2，
整理，得（1+k²）·x²-4kx+2=0，
所以
Δ=（-4k）²-8（1+k²）>0，即k²>1
當∠AOB為銳角時，
則

可得k²＜3，
又因為k²>1，
故k的取值范圍為或。
（3）設(shè)切點C，D的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
動點P的坐標為（x₀，y₀），則過切點C的切線方程為：x·x₁+y·y₁=2，
所以x₀·x₁+y₀·y₁=2
同理，過切點D的切線方程為：x₀·x₂+y₀·y₂=2，
所以過C，D的直線方程為：x₀·x+y₀·y=2
又，將其代入上式并化簡整理，
得，而x₀∈R，
故且-2y-2=0，可得，y=-1，
即直線CD過定點。