Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0）。

（1）求拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)M、N是拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且它們的縱坐標(biāo)之積為，直線(xiàn)MO、NO與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B，求證：動(dòng)直線(xiàn)AB恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)。

 

Answer 1

【答案】

(1)設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，

所以?huà)佄锞�(xiàn)方程為

（2）直線(xiàn)MO的方程：，與聯(lián)立解得A點(diǎn)坐標(biāo)，B點(diǎn)坐標(biāo)，得出直線(xiàn)AB的方程為：，說(shuō)明直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)（1,0）。

【解析】

試題分析：(1)設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，

所以?huà)佄锞�(xiàn)方程為

（2）拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，設(shè)，其中，

直線(xiàn)MO的方程：，將與聯(lián)立解得A點(diǎn)坐標(biāo)。

同理可得B點(diǎn)坐標(biāo)，則直線(xiàn)AB的方程為：

整理得，故直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)（1,0）。

考點(diǎn)：本題主要考查直線(xiàn)方程，拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，曲線(xiàn)關(guān)系問(wèn)題，往往通過(guò)聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題求拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，主要運(yùn)用了拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)。（2）證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，巧妙地假設(shè)，并應(yīng)用假設(shè)字母表示點(diǎn)的坐標(biāo)，值得學(xué)習(xí)。