Question

14．對(duì)于定義在D上的函數(shù)f（x），點(diǎn)A（m，n）是f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的充要條件是：對(duì)任意x∈D都有f（x）+f（2m-x）=2n，現(xiàn)給出下列三個(gè)函數(shù)：
（1）f（x）=x³+2x²+3x+4
（2）$f（x）=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+…+\frac{1}{x+2015}$
（3）$h（x）={log_2}\frac{x}{4-x}$
這三個(gè)函數(shù)中，圖象存在對(duì)稱(chēng)中心的有（　　）

• A． 0個(gè)
• B． 1個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 3個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)點(diǎn)A（m，n）是f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的充要條件，逐一分析給定三個(gè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，可得答案．

解答 解：當(dāng)m=-$\frac{2}{3}$，n=$\frac{70}{27}$時(shí)，函數(shù)f（x）=x³+2x²+3x+4滿(mǎn)足：
f（x）+f（2m-x）=f（x）+f（$-\frac{4}{3}$-x）=x³+2x²+3x+4+（$-\frac{4}{3}$-x）³+2（$-\frac{4}{3}$-x）²+3（$-\frac{4}{3}$-x）+4=$\frac{140}{27}$=2n，
故f（x）=x³+2x²+3x+4的圖象存在對(duì)稱(chēng)中心（-$\frac{2}{3}$，$\frac{70}{27}$）；
當(dāng)$f（x）=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+…+\frac{1}{x+2015}$時(shí)，
f（x）+f（-2016-x）=$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+…+\frac{1}{x+2015}$-（$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+…+\frac{1}{x+2015}$）=0，
故$f（x）=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+…+\frac{1}{x+2015}$的圖象存在對(duì)稱(chēng)中心（-1003，0），
當(dāng)$h（x）={log_2}\frac{x}{4-x}$時(shí)，
f（x）+f（4-x）=$lo{g}_{2}\frac{x}{4-x}$+$lo{g}_{2}\frac{4-x}{4-（4-x）}$=$lo{g}_{2}\frac{x}{4-x}$+$lo{g}_{2}\frac{4-x}{x}$=0，
故$h（x）={log_2}\frac{x}{4-x}$的圖象存在對(duì)稱(chēng)中心（2，0），
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，正確理解新定義點(diǎn)A（m，n）是f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的充要條件，是解答的關(guān)鍵．