Question

（本小題滿分10分）

設數(shù)列滿足：．

  （1）證明：對恒成立；

   (2)令，判斷與的大小，并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）證明略

（2）

【解析】解：（1）證法一：當時，，不等式成立，

假設時，成立   （2分），

當時，．（5分）

時，時成立

綜上由數(shù)學歸納法可知，  對一切正整數(shù)成立    （6分）

證法二：當時，，結論成立；

假設時結論成立，即（2分） 當時，

由函數(shù)的單增性和歸納假設有

（4分）,

因此只需證：，

而這等價于，

顯然成立，所以當是，結論成立；

綜上由數(shù)學歸納法可知，  對一切正整數(shù)成立    （6分）

證法三：由遞推公式得，

     （2分）

上述各式相加并化簡得

         （4分）

又時，顯然成立，   故（6分）

   （2）解法一：（8分）

  （10分）

又顯然，故成立      （12分）

解法二：

（由（1）的結論）（8分）

     （10分）

所以           （12分）

    解法三：      （8分）

      （10分）

      

故，因此                   （12分）