Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$（n∈N^*），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n滿足T_n=3ⁿ-1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{$\frac{_{n}}{2{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）對(duì)a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$（n∈N^*）取倒數(shù)，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到所求{a_n}的通項(xiàng)公式；再由數(shù)列的遞推式：當(dāng)n=1時(shí)，b₁=T₁，當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=T_n-T_n-1，即可得到{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求得$\frac{_{n}}{2{a}_{n}}$=$\frac{2（3n-2）•{3}^{n-1}}{2}$=（3n-2）•3^n-1．再由數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$（n∈N^*），
取倒數(shù)可得，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+3，
可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+3（n-1）=3n-2，
則a_n=$\frac{1}{3n-2}$，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n滿足T_n=3ⁿ-1（n∈N^*），
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=T₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=T_n-T_n-1=3ⁿ-1-（3^n-1-1）=2•3^n-1．對(duì)n=1也成立；
{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=2•3^n-1；
（2）$\frac{_{n}}{2{a}_{n}}$=$\frac{2（3n-2）•{3}^{n-1}}{2}$=（3n-2）•3^n-1．
前n項(xiàng)和S_n=1•3⁰+4•3¹+7•3²+…+（3n-2）•3^n-1．
3S_n=1•3+4•3²+7•3³+…+（3n-2）•3ⁿ．
相減可得-2S_n=1+3²+3³+…+3ⁿ-（3n-2）•3ⁿ
=1+$\frac{9（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（3n-2）•3ⁿ．
化簡(jiǎn)可得S_n=$\frac{（6n-7）•{3}^{n}+7}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用變形：取倒數(shù)，以及數(shù)列的遞推式，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．