Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=lg（a^x-b^x），且f（1）=lg2，f（2）=lg12
（1）求a，b的值．
（2）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，求f（x）的最大值．
（3）m為何值時(shí)，函數(shù)g（x）=a^x的圖象與h（x）=b^x-m的圖象恒有兩個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由已知可得a-b=2，a²-b²=12，解得答案；
（2）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，4^x-2^x∈[2，12]，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案；
（3）若函數(shù)g（x）=a^x的圖象與h（x）=b^x-m的圖象恒有兩個(gè)交點(diǎn)，則4^x-2^x=-m有兩個(gè)解，令t=2^x，則t＞0，則t²-t=-m有兩個(gè)正解，進(jìn)而得到答案．

解答 解：（1）∵f（x）=lg（a^x-b^x），且f（1）=lg2，f（2）=lg12，
∴a-b=2，a²-b²=12，
解得：a=4，b=2；
（2）由（1）得：函數(shù)f（x）=lg（4^x-2^x），
當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，4^x-2^x∈[2，12]，
故當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取最大值lg12，
（3）若函數(shù)g（x）=a^x的圖象與h（x）=b^x-m的圖象恒有兩個(gè)交點(diǎn)．
則4^x-2^x=-m有兩個(gè)解，令t=2^x，則t＞0，
則t²-t=-m有兩個(gè)正解；
則$\left\{\begin{array}{l}{1-4m＞0}\\{m＞0}\end{array}\right.$，
解得：m∈（0，$\frac{1}{4}$）．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．