Question

10．在正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AA₁的中點，則異面直線BE與B₁D₁所成角的余弦值等于$\frac{\sqrt{10}}{5}$，若正方體邊長為1，則四面體B-EB₁D₁的體積為$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 取CC₁中點F，連接D₁F，B₁F，則BE∥D₁F，故∠B₁D₁F為異面直線BE與B₁D₁所成的角．在△B₁D₁F中求出三邊長，利用余弦定理或等腰三角形知識求出cos∠B₁D₁F，四面體B-EB₁D₁的體積等于三棱錐D₁-BB₁E的體積．

解答 解：取CC₁中點F，連接D₁F，B₁F，則BE$\stackrel{∥}{=}$D₁F，
∴∠B₁D₁F為異面直線BE與B₁D₁所成的角．
設(shè)正方體棱長為1，則B₁D₁=$\sqrt{2}$，B₁F=D₁F=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴cos∠B₁D₁F=$\frac{\frac{1}{2}{B}_{1}{D}_{1}}{{D}_{1}F}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$．
V${\;}_{B-E{B}_{1}{D}_{1}}$=V${\;}_{{D}_{1}-B{B}_{1}E}$=$\frac{1}{3}{S}_{△B{B}_{1}E}•{A}_{1}{D}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{10}}{5}$，$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征，空間角的計算，棱錐的體積計算，屬于中檔題．