Question

3．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3CD．
（1）求證：$\overrightarrow{BC}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$；
（2）若AB=3，AD=2，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=1，求$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的三角形法則進(jìn)行證明；
（2）將所求利用梯形的各邊對(duì)應(yīng)的向量表示，然后進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可．

解答 （1）證明：因?yàn)樘菪蜛BCD中，AB∥CD，AB=3CD．
所以$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$；
（2）解：因?yàn)锳B=3，AD=2，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=1，
則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}）•（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}）$=$-{\overrightarrow{AB}}^{2}$$+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$$+\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AD}$
=-9+1+$\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}）$=-8+$\overrightarrow{AB}•\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$=-8+6=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的運(yùn)算，包括加減運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算；屬于基礎(chǔ)題．