Question

2．如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左頂點為A，與x軸平行的直線與橢圓E交于B、C兩點，過B、C兩點且分別與直線AB、AC垂直的直線相交于點D．已知橢圓E的離心率為$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，右焦點到右準線的距離為$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）證明點D在一條定直線上運動，并求出該直線的方程；
（3）求△BCD面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，$\frac{a^2}{c}-c=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，計算即可；
（2）通過設B、C點坐標、寫出直線AB、AC、BD、CD的斜率，聯(lián)立直線BD、CD的方程，計算即可；
（3）通過計算可得點D的縱坐標，進而可得點D到直線BC的距離，利用三角形的面積公式及基本不等式即得結論．

解答 （1）解：由題意得$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，$\frac{a^2}{c}-c=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，
解得$a=3，c=\sqrt{5}$，
∴b²=a²-c²=4，
∴橢圓E的標準方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）證明：設B（x₀，y₀），C（-x₀，y₀），顯然直線AB，AC，BD，CD的斜率都存在，
設為k₁，k₂，k₃，k₄，則${k_1}=\frac{y_0}{{{x_0}+3}}，{k_2}=\frac{y_0}{{-{x_0}+3}}$，${k_3}=-\frac{{{x_0}+3}}{y_0}，{k_4}=\frac{{{x_0}-3}}{y_0}$，
∴直線BD，CD的方程為：$y=-\frac{{{x_0}+3}}{y_0}（x-{x_0}）+{y_0}，y=\frac{{{x_0}-3}}{y_0}（x+{x_0}）+{y_0}$，
消去y得：$-\frac{{{x_0}+3}}{y_0}（x-{x_0}）+{y_0}=\frac{{{x_0}-3}}{y_0}（x+{x_0}）+{y_0}$，
化簡得x=3，故點D在定直線x=3上運動．
（3）解：由（2）得點D的縱坐標為${y_D}=\frac{{{x_0}-3}}{y_0}（3+{x_0}）+{y_0}=\frac{x_0^2-9}{y_0}+{y_0}$，
又∵$\frac{x_0^2}{9}+\frac{y_0^2}{4}=1$，∴$x_0^2-9=-\frac{9y_0^2}{4}$，
則${y_D}=\frac{{{x_0}-3}}{y_0}（3+{x_0}）+{y_0}=\frac{{-\frac{9}{4}y_0^2}}{y_0}+{y_0}=-\frac{5}{4}{y_0}$，
∴點D到直線BC的距離h=$|{{y_D}-{y_0}}|=|{-\frac{5}{4}{y_0}-{y_0}}|=\frac{9}{4}|{y_0}|$，
將y=y₀代入$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，得$x=±3\sqrt{1-\frac{y_0^2}{4}}$，
∴△BCD面積${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}BC•h=\frac{1}{2}×6\sqrt{1-\frac{y_0^2}{4}}•\frac{9}{4}|{y_0}|$
=$\frac{27}{2}\sqrt{1-\frac{y_0^2}{4}}•\frac{1}{2}|{y_0}|≤\frac{27}{2}•\frac{{1-\frac{y_0^2}{4}+\frac{y_0^2}{4}}}{2}=\frac{27}{4}$，
當且僅當$1-\frac{y_0^2}{4}=\frac{y_0^2}{4}$，即${y_0}=±\sqrt{2}$時等號成立，
故${y_0}=±\sqrt{2}$時，△BCD面積的最大值為$\frac{27}{4}$．

點評 本題考查橢圓的定義及其標準方程、直線與橢圓的位置關系、三角形的面積計算等基礎知識，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．