Question

對(duì)于x∈[1，3]，不等式mx²-mx-6+m＜0恒成立，則m的取值范圍為

m＜

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7

．

Answer 1

分析：函數(shù)在區(qū)間上恒成立問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題，通過(guò)求解函數(shù)的最值，列出關(guān)于實(shí)數(shù)m的不等式，達(dá)到求解該題的目的．

解答：解：令f（x）=mx²-mx-6+m，
當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=-6＜0恒成立，故m=0；
（2）當(dāng)m≠0時(shí)，該函數(shù)的對(duì)稱軸是x=

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2

，f（x）在x∈[1，3]上是單調(diào)函數(shù)，
①當(dāng)m＞0時(shí)，由于f（x）在[1，3]上單調(diào)遞增，要使f（x）＜0在x∈[1，3]上恒成立，只要f（3）＜0即可．
即9m-3m+m-6＜0，解得m＜

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，故0＜m＜

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，
②當(dāng)m＜0時(shí)，由于函數(shù)f（x）在[1，3]上是單調(diào)遞減，要使f（x）＜0在x∈[1，3]上恒成立，只要f（1）＜0即可，
即m-m+m-6＜0，解得m＜6，故m＜0，
綜上可知：實(shí)數(shù)m 的取值范圍是：m＜

6

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．
故答案為：m＜

6

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題的解決思路和方法，考查函數(shù)與不等式的綜合問(wèn)題，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸的思想和方法，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．屬于中檔題．