Question

已知函數f（x）=

2x+m

2x-1

為奇函數．
（1）求實數m的值；
（2）用定義證明函數f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為單調減函數．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數單調性的判斷與證明

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用

分析：（1）運用奇函數的定義，化簡計算即可得到m=1；
（2）運用定義證明，注意作差、變形和定符號、下結論幾個步驟．

解答： （1）解：由于f（x）為奇函數，則f（-x）=-f（x），
即有

2-x+m

2-x-1

=-

2x+m

2x-1

，
即

1+m•2x

1-2x

=

m+2x

1-2x

，即有1+m•2^x=m+2^x，
解得m=1；
（2）證明：由f（x）=

2x+1

2x-1

，
設0＜m＜n，則f（m）-f（n）=

2m+1

2m-1

-

2n+1

2n-1

=

2(2n-2m)

(2m-1)(2n-1)

，
由于0＜m＜n，則2^m＜2ⁿ，即2ⁿ-2^m＞0，2^m＞1，2ⁿ＞1，
則有f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n）．
則f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為單調減函數．

點評：本題考查函數的奇偶性的運用，考查函數的單調性的證明，考查運算能力，屬于基礎題．