Question

10．△ABC的兩個頂點為A（-1，0），B（1，0），△ABC周長為6，則C點軌跡為以A，B為焦點的橢圓（除去橢圓與x軸的交點），方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1（{y≠0}）$．

Answer 1

分析 根據三角形的周長和定點，得到點A到兩個定點的距離之和等于定值，得到點C的軌跡是橢圓，橢圓的焦點在x軸上，寫出橢圓的方程，去掉不合題意的點．

解答 解：∵△ABC的兩頂點A（-1，0），B（1，0），△ABC周長為6，
∴AB=2，BC+AC=4，
∵4＞2，∴點C到兩個定點的距離之和等于定值，點C滿足橢圓的定義，
∴點C的軌跡是以A，B為焦點的橢圓（除去橢圓與x軸的交點），
∴2a=4，2c=2，∴a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓的標準方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1（{y≠0}）$，
故答案為以A，B為焦點的橢圓（除去橢圓與x軸的交點），方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1（{y≠0}）$．

點評 本題考查軌跡方程的求法，注意橢圓的定義的應用是關鍵．