Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=n²，n∈N^*．
（1）證明：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+（-1）ⁿa_n，求數(shù)列{b_n}的前2n項和．

Answer 1

分析 （1）利用遞推式可得a_n，再利用等差數(shù)列的定義即可證明．
（2）b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+（-1）ⁿa_n=2^2n-1+（-1）ⁿ（2n-1），分組求和：利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 （1）證明：當(dāng)n=1時，a₁=S₁=1，當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
當(dāng)n=1時，上式也成立，∴a_n=2n-1．
∴當(dāng)n≥2時，a_n-a_n-1=（2n-1）-（2（n-1）-1）=2，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，以1為首項，2為公差．
（2）解：b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+（-1）ⁿa_n=2^2n-1+（-1）ⁿ（2n-1），
∴數(shù)列{b_n}的前2n項和=（2¹+2³+…+2^2n-1）+[（-1+3）+（-5+7）+…+（-（4n-3）+（4n-1））]
=$\frac{2（{4}^{2n}-1）}{4-1}$+2n
=$\frac{2×{4}^{2n}}{3}$+2n-$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“分組求和”、遞推式的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．