Question

已知定點(diǎn)F（2，0），直線l：x=-2，點(diǎn)P為坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程；
（2）直線l₁過點(diǎn)F與曲線C交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，求證：=；
（3）記與的夾角為θ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B為（2）中的兩點(diǎn)），求cosθ的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定向量的坐標(biāo)，利用，得=0，由此可求曲線C的方程；
（2）設(shè)直線l₁的方程為x=my+2與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合+=+，即可證得結(jié)論；
（3）確定=（x₁，y₁），=（x₂，y₂），利用，可求cosθ的取值范圍．
解答：（1）解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）．依據(jù)題意，可得
． （3分）
又，
于是，，即y²=8x（x≥0）． （6分）
因此，所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為C：y²=8x（x≥0）．
（2）證明：∵直線l₁過F點(diǎn)且與曲線C交于不同的A、B兩點(diǎn)，
∴l(xiāng)₁的斜率不為零，故設(shè)l₁：x=my+2．                           （7分）
聯(lián)立方程組得y²-8my-16=0．（8分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，進(jìn)一步得（10分）
又∵曲線C：y²=8x（x≥0）的準(zhǔn)線為：x=-2，
∴左邊====右邊． （12分）
∴．證畢！
（3）解：由（2）可知，．
∴==（當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)，等號(hào)成立）． （16分）
∴．                                                              （18分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．