Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，的離心率為，且點(diǎn)在此橢圓上.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線與圓相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且與橢圓交于.兩點(diǎn).若的面積為，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】

（1）將離心率中的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為關(guān)系，點(diǎn)代入方程，即可求解；

（2）根據(jù)已知可得，設(shè)直線方程，由直線與圓相切，可得出關(guān)系，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，進(jìn)而求出兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，求出且等于，即可求解.

（1），

可得橢圓方程為，

將點(diǎn)代入，解得方程為

（2）

因?yàn)橹本�與單位圓相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，

可設(shè)

與相切，圓心到直線距離為

， ①

設(shè)，

由

可得

，

②

將①代入②，得

解之可得：，

或（舍），

代入①式可得，

因?yàn)?/span>，，，

所以直線的方程為.