Question

如圖，簡單組合體底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC．
（1）求證：BE∥平面PDA；
（2）若AD=2，PD=

2

，求平面PBE與平面ABCD夾角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）把問題轉(zhuǎn)化為證明平面EBC∥平面PAD即可得到結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標系，求出兩個平面法向量的坐標，再代入向量的夾角計算公式即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵EC∥PD，PD在平面PAD內(nèi)，EC不在平面PAD內(nèi)，
∴EC∥平面PAD，同理可得BC∥平面PAD，…（2分）
∵EC在平面EBC內(nèi)，BC在平面EBC內(nèi)
且EC∩BC=C
∴平面EBC∥平面PAD，
又∵BE在平面EBC內(nèi)，…（4分）
∴BE∥平面PDA…（6分）
另解：建系，利用向量，參照給分．
（2）以點D為坐標原點，以DA、DC、DP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
則A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），P（0，0，

2

），E（0，2，

2

2

）．
知

PE

=(0，2，-

2

2

)，

BE

=(-2，0，

2

2

)…（8分）
設平面PBE的法向量為

n1

=（x，y，z）
∵

n1

⊥

PE

，

n1

⊥

BE

∴

n1 ⊥ PE =(x，y，z)(0，2，- 2 2 )=0 n1 ⊥ BE =(x，y，z)(-2，0， 2 2 )=0.

⇒

2y- 2 2 z=0 -2x+ 2 2 z=0

取

n1

=(1，1，2

2

)…（10分）
又

n2

=（0，0，1）⊥平面ABCD
故所求夾角的余弦值為cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

2 5

5

．…（12分）

點評：本題主要考察用空間向量求平面間的夾角以及直線與平面平行的判定．用空間向量求平面間的夾角的關(guān)鍵在于建立適當?shù)淖鴺讼担瑴蚀_求出兩個平面的法向量．