Question

已知公差不為零的等差數列{a_n}的a₂，a₃，a₁₄恰好構成一個等比數列，前7項和為S₇=49，且對于任意的正整數n，都有b₁+2b₂+…+2n-1 b_n=na_n
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式．
（2）記{b_n}的前n項和為T_n，求滿足T_n＞9的n的集合．

Answer 1

考點：等差數列與等比數列的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得

(a1+2d)2=(a1+d)(a1+13d) 7a1+ 7×6 2 d=49 d≠0

，從而求出a_n=

10n

3

-

19

3

．由b₁+2b₂+…+2n-1 b_n=na_n=

10n2-19n

3

，得b₁+2b₂+…+2^n-2b_n-1=

10(n-1)2-19(n-1)

3

，由此能求出b_n=

20n-29

3•2n-1

．
（2）由b_n=

20n-29

3•2n-1

，利用錯位相減法求出T_n=

22

3

-

20n+11

3×2n-1

＜

22

3

，由此能求出滿足T_n＞9的n的集合．

解答： 解：（1）∵公差不為零的等差數列{a_n}的a₂，a₃，a₁₄恰好構成一個等比數列，前7項和為S₇=49，
∴

(a1+2d)2=(a1+d)(a1+13d) 7a1+ 7×6 2 d=49 d≠0

，解得a₁=-3，d=

10

3

，
∴a_n=-3+（n-1）×

10

3

=

10n

3

-

19

3

．
∵b₁+2b₂+…+2n-1 b_n=na_n=

10n2-19n

3

，
∴b₁+2b₂+…+2^n-2b_n-1=

10(n-1)2-19(n-1)

3

，
∴2^n-1b_n=

10n2-19n

3

-

10(n-1)2-19(n-1)

3

=

20n-29

3

，
∴b_n=

20n-29

3•2n-1

．
（2）∵b_n=

20n-29

3•2n-1

，
∴T_n=

-9

3

+

11

3×2

+

31

3×22

+…+

20n-29

3×2n-1

，①

1

2

Tn=

-9

3×2

+

11

3×22

+

31

3×23

+…+

20n-29

3×2n

，②
①-②，得：

1

2

Tn=-3+

20

3×2

+

20

3×22

+…+

20

3×2n-1

-

20n-29

3×2n

=-3+

20

3

（

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

）-

20n-29

3×2n

=-3+

20

3

×

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

20n-29

3×2n

=

11

3

-

20

3•2n-1

-

20n-29

3×2n

，
∴T_n=

22

3

-

20n+11

3×2n-1

＜

22

3

，
∴滿足T_n＞9的n的集合為∅．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查滿足不等式的自然數的集合的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．