Question

正四面體ABCD內(nèi)接于半徑為R的球O,求正四面體的棱長(zhǎng).

Answer 1

思路解析:可設(shè)棱長(zhǎng)為x、列出方程求解.關(guān)鍵就是確定出球心的位置.(1)一個(gè)多面體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上、則稱這個(gè)多面體內(nèi)接于一個(gè)球、這個(gè)球也叫做多面體的外接球;(2)有關(guān)外接球的問(wèn)題常常利用它的軸截面來(lái)解決.

解:如圖、在正四面體ABCD中、作AO₁⊥底面BCD于O₁、則O₁為△BCD的中心.

∵OA=OB=OC=OD=R、∴球心O在底面的射影也是O₁,于是A、O、O₁三點(diǎn)共線.

設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為x、

則AB=x、BO₁=x,AO₁=x,

∵OO₁=,又OO₁=AO₁-AO=x-R,

由此解得x=R,故正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為R.